matematyka

У салоні пасажирського літака <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>20</mn></math> рядів, у кожному з яких розташовано по <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>3</mn></math> крісла обабіч проходу (див. рисунок). Реєструючи пасажира, електронна система навмання вибирає для нього посадкове місце. Яка імовірність того, що першому зареєстрованому пасажиру дістанеться місце біля проходу?

/assets/tests/images/nmt-mathematics-2024-2/01-math-2-2024.png

Яке з наведених чисел є розв’язком нерівності <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">|</mo><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>3</mn><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">|</mo></mrow><mo>&gt;</mo><mn>5</mn><mo>?</mo></math>

Відомо, що вісь <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>O</mi></math> Пізанської вежі натепер відхилена від вертикалі <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi><mi>O</mi></math> на кут <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mn>4</mn><mo>∘</mo></msup></math> (див. рисунок). Визначте градусну міру кута <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>O</mi><mi>C</mi><mo>,</mo></math> який утворює вісь вежі з горизонтальною поверхнею <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>O</mi><mi>C</mi><mo>.</mo></math>

/assets/tests/images/nmt-mathematics-2024-2/04-math-2-2024.png

На рисунку зображено куб <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi><mi>D</mi><msub><mi>A</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>B</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>C</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>D</mi><mn>1</mn></msub><mo>.</mo></math> Укажіть із-поміж наведених пряму, паралельну площині грані <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><msub><mi>A</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>B</mi><mn>1</mn></msub><mi>B</mi><mo>.</mo></math>

/assets/tests/images/nmt-mathematics-2024-2/05-math-2-2024.png

Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію.

/assets/tests/images/nmt-mathematics-2024-2/06-math-2-2024.png

Маса протона наближено дорівнює <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>67</mn><mo>⋅</mo><msup><mn>10</mn><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>−</mo><mn>27</mn></mrow></msup><mtext>&nbsp;</mtext><mtext>кг</mtext><mo>.</mo></math> Визначте наближену масу (кг) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>100</mn></math> протонів.

Основою піраміди є ромб, діагоналі якого дорівнюють <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>20</mn><mtext>&nbsp;</mtext><mtext>см</mtext></math> і <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>12</mn><mtext>&nbsp;</mtext><mtext>см</mtext><mo>.</mo></math> Обчисліть об’єм (см3) піраміди, якщо її висота дорівнює <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>15</mn><mtext>&nbsp;</mtext><mtext>см</mtext><mo>.</mo></math>

Обчисліть значення виразу <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn><msqrt><mi>m</mi><mo>+</mo><mi>m</mi><mo>+</mo><mi>m</mi></msqrt><mo>,</mo></math> якщо <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>m</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>27</mn></mfrac><mo>.</mo></math>

Які з наведених тверджень є правильними? I. Cерединний перпендикуляр, проведений до сторони рівностороннього трикутника, ділить його на два рівних трикутники. II. Точка перетину серединних перпендикулярів, проведених до катетів прямокутного трикутника, є серединою його гіпотенузи. III. Точка перетину серединних перпендикулярів, проведених до сторін будь-якого тупокутного трикутника, міститься всередині цього трикутника.

Розв’яжіть систему рівнянь <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">{</mo><mtable columnalign="left" columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>−</mo><mfrac><mi>y</mi><mn>3</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>7</mn><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>y</mi></mrow><mn>3</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>6.</mn></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE" fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo></mrow></math> Якщо <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">(</mo><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>;</mo><mtext>&nbsp;</mtext><msub><mi>y</mi><mn>0</mn></msub><mo stretchy="false">)</mo></math> − розв’язок системи, то <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>y</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo></math>

Сума перших п’яти членів геометричної прогресії <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">(</mo><msub><mi>b</mi><mi>n</mi></msub><mo stretchy="false">)</mo></math> дорівнює <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>32</mn><mo>,</mo></math> а сума перших чотирьох її членів дорівнює <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>20.</mn></math> Визначте <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>b</mi><mn>5</mn></msub><mo>.</mo></math>

Розв’яжіть рівняння <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mn>3</mn><mrow data-mjx-texclass="ORD"><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msup><mo>=</mo><mn>81.</mn></math> Якщо рівняння має один корінь, то вкажіть проміжок, якому він належить. Якщо рівняння має кілька коренів, то вкажіть проміжок, якому належить найменший з них.

На стороні <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>D</mi></math> паралелограма <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi><mi>D</mi></math> вибрано точку <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>K</mi></math> так, що <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>K</mi><mo>:</mo><mi>K</mi><mi>D</mi><mo>=</mo><mn>3</mn><mo>:</mo><mn>2</mn><mo>,</mo></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi><mi>K</mi><mo>=</mo><mi>C</mi><mi>D</mi></math> (див. рисунок). Визначте площу паралелограма <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi><mi>D</mi><mo>,</mo></math> якщо <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">∠</mi><mi>A</mi><mi>K</mi><mi>B</mi><mo>=</mo><mi style="font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em">α</mi><mo>,</mo></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi><mi>C</mi><mo>=</mo><mn>20.</mn></math>

/assets/tests/images/nmt-mathematics-2024-2/15-math-2-2024.png

На рисунку зображено графік функції <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>,</mo></math> визначеної на відрізку <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">[</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mtext>&nbsp;</mtext><mn>9</mn><mo stretchy="false">]</mo><mo>.</mo></math> Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

/assets/tests/images/nmt-mathematics-2024-2/16-math-2-2024.png

Перша колонка

Найбільше значення функції y=f(x) на відрізку [1; 9] дорівнює

Найменше значення функції y=f(x) на відрізку [1; 3] дорівнює

Найбільше ціле значення x, за якого справджується нерівність f(x)<0, дорівнює

Друга колонка

Узгодьте вираз (1–3) із твердженням (А – Д) щодо значення цього виразу.

є ірраціональним числом

є цілим від’ємним числом

є раціональним числом, що не є цілим

Трапеція <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>K</mi><mi>C</mi><mi>D</mi></math> складається з квадрата <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi><mi>D</mi></math> та трикутника <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi><mi>K</mi><mi>C</mi></math> (див. рисунок). Периметр квадрата <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi><mi>D</mi></math> дорівнює <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>24</mn><mtext>&nbsp;</mtext><mtext>см</mtext><mo>,</mo></math> середня лінія трапеції <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>K</mi><mi>C</mi><mi>D</mi></math> дорівнює <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>10</mn><mtext>&nbsp;</mtext><mtext>см</mtext><mo>.</mo></math> До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

/assets/tests/images/nmt-mathematics-2024-2/18-math-2-2024.png

Довжина відрізка BK дорівнює

Довжина відрізка KC дорівнює

Відстань між центрами кіл, описаних навколо квадрата ABCD та трикутника BKC, дорівнює

На рисунку зображено графік функції <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">{</mo><mtable columnalign="left" columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mn>1</mn><mo>,</mo><mtext>&nbsp;</mtext><mi>x</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">(</mo><mo>−</mo><mi mathvariant="normal">∞</mi><mo>;</mo><mtext>&nbsp;</mtext><mn>0</mn><mo stretchy="false">]</mo><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>2</mn><mo>,</mo><mtext>&nbsp;</mtext><mi>x</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn>0</mn><mo>;</mo><mtext>&nbsp;</mtext><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">∞</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE" fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo></mrow></math> Обчисліть значення виразу <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mo data-mjx-texclass="OP">∫</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>−</mo><mn>4</mn></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><msubsup><mo data-mjx-texclass="OP">∫</mo><mn>1</mn><mn>8</mn></msubsup><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>.</mo></math>

/assets/tests/images/nmt-mathematics-2024-2/19-math-2-2024.png

Заступник директора школи складає розклад уроків для <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>10</mn><mtext>-го</mtext></math> класу. Він запланував на понеділок шість уроків з таких предметів: геометрія, біологія, англійська мова, хімія, фізична культура, географія. Скільки всього існує різних варіантів розкладу уроків на цей день, якщо урок фізичної культури має бути першим або останнім у розкладі?

У прямокутній системі координат у просторі задано конус із вершиною <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>M</mi><mo stretchy="false">(</mo><mn>4</mn><mo>;</mo><mo>−</mo><mn>9</mn><mo>;</mo><mtext>&nbsp;</mtext><mn>7</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>.</mo></math> Осьовим перерізом цього конуса є рівносторонній трикутник <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>M</mi><mi>B</mi><mo>.</mo></math> Визначте площу <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>S</mi></math> повної поверхні цього конуса, якщо <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mo stretchy="false">(</mo><mn>8</mn><mo>;</mo><mo>−</mo><mn>12</mn><mo>;</mo><mtext>&nbsp;</mtext><mn>12</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>.</mo></math> У відповіді запишіть значення <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mi>S</mi><mi style="font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em">π</mi></mfrac><mo>.</mo></math>

Визначте суму всіх цілих значень <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>,</mo></math> за кожного з яких рівняння <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>lg</mi><mo data-mjx-texclass="NONE">⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn>2</mn><mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>5</mn><mo>−</mo><mi>a</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>lg</mi><mo data-mjx-texclass="NONE">⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo></math> не має коренів.

НМТ онлайн 2024 року з математики – 2 сесія

Поради для успішного проходження