matematyka

У першу годину роботи на телефон гарячої лінії надійшло <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>145</mn></math> дзвінків, а за другу годину – на <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>17</mn></math> дзвінків більше. Скільки всього дзвінків надійшло на телефон гарячої лінії за дві години роботи?

О шостій годині ранку визначено температуру повітря на десяти метеостанціях. Отримані дані відображено в таблиці. Температура (у градусах) 1 3 4 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi></math> Кількість метеостанцій 2 3 4 1 Визначте <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>,</mo></math> якщо середнє арифметичне всіх цих даних дорівнює <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>3</mn><mo>,</mo><msup><mn>5</mn><mo>∘</mo></msup><mo>.</mo></math>

На рисунку зображено пряму трикутну призму. Її бічною гранню є

/assets/tests/images/nmt-mathematics-2025/math-nmt-2024-demo-03.png

паралелограм, що не є прямокутником

ромб, що не є квадратом

Якщо <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>m</mi><mo>=</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>,</mo></math> то <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>7</mn><mo>−</mo><mi>m</mi><mo>=</mo></math>

Кола із центрами в точках <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>O</mi></math> і <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>O</mi><mn>1</mn></msub></math> мають внутрішній дотик (див. рисунок). Обчисліть відстань <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>O</mi><msub><mi>O</mi><mn>1</mn></msub><mo>,</mo></math> якщо радіуси кіл дорівнюють <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>12</mn><mtext>&nbsp;</mtext><mtext>см</mtext></math> і <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>8</mn><mtext>&nbsp;</mtext><mtext>см</mtext><mo>.</mo></math>

/assets/tests/images/nmt-mathematics-2025/math-nmt-2024-demo-05.png

Розв’яжіть нерівність <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>54</mn><mo>&lt;</mo><mn>0.</mn></math>

На рисунку зображено графік функції <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>,</mo></math> визначеної на проміжку <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">[</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mn>8</mn><mo stretchy="false">]</mo><mo>.</mo></math> Скільки нулів має ця функція на заданому проміжку?

/assets/tests/images/nmt-mathematics-2025/math-nmt-2024-demo-07.png

Спростіть вираз <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>b</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>−</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><msup><mo stretchy="false">)</mo><mn>2</mn></msup><mo>.</mo></math>

У трикутнику <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi></math> кут <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi></math> – тупий. Які з наведених тверджень є правильними? I. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">∠</mi><mi>A</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">∠</mi><mi>C</mi><mo>&lt;</mo><msup><mn>90</mn><mo>∘</mo></msup><mo>.</mo></math> II. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>+</mo><mi>B</mi><mi>C</mi><mo>&lt;</mo><mi>A</mi><mi>C</mi><mo>.</mo></math> III. Центр кола, описаного навколо трикутника <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi><mo>,</mo></math> лежить поза його межами.

Якщо <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>&lt;</mo><mn>1</mn><mo>,</mo></math> то <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">|</mo><mi>a</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">|</mo></mrow><mo>+</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">|</mo></mrow><mo>−</mo><mn>7</mn><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">|</mo></mrow><mo>=</mo></math>

Розв’яжіть систему рівнянь <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">{</mo><mtable columnalign="left" columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>5</mn><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mn>4</mn><mi>x</mi></msup><mo>=</mo><msup><mn>16</mn><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE" fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo></mrow></math> Якщо <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">(</mo><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>;</mo><msub><mi>y</mi><mn>0</mn></msub><mo stretchy="false">)</mo></math> – розв’язок цієї системи, то <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>⋅</mo><msub><mi>y</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo></math>

Периметр основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>72</mn><mtext>&nbsp;</mtext><mtext>см</mtext><mo>.</mo></math> Обчисліть довжину висоти піраміди, якщо її апофема дорівнює <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>15</mn><mtext>&nbsp;</mtext><mtext>см</mtext><mo>.</mo></math>

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>log</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></mrow></msub><mo data-mjx-texclass="NONE">⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>2.</mn></math>

У паралелограмі <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi><mi>D</mi><mo>:</mo><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>=</mo><msqrt><mn>6</mn></msqrt><mtext>&nbsp;</mtext><mtext>см</mtext><mo>,</mo></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">∠</mi><mi>B</mi><mi>A</mi><mi>D</mi><mo>=</mo><msup><mn>30</mn><mo>∘</mo></msup><mo>,</mo></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">∠</mi><mi>C</mi><mi>B</mi><mi>D</mi><mo>=</mo><msup><mn>45</mn><mo>∘</mo></msup></math> (див. рисунок). Обчисліть довжину діагоналі <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi><mi>D</mi><mo>.</mo></math>

/assets/tests/images/nmt-mathematics-2025/math-nmt-2024-demo-14.png

Укажіть похідну функції <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">(</mo><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>.</mo></math>

До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Перша колонка

Друга колонка

спадає на проміжку (−∞;0).

не визначена в точці x=1.

набуває від’ємного значення в точці x=8.

набуває додатного значення в точці x=−3.

Установіть відповідність між виразом (1–3) і тотожно рівним йому виразом (А – Д), якщо <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math> – довільне додатне число, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>≠</mo><mn>1.</mn></math>

Квадрат <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi><mi>D</mi></math> та прямокутна трапеція <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi><mi>M</mi><mi>N</mi><mi>C</mi></math> лежать в одній площині (див. рисунок). Площа кожної із цих фігур дорівнює <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>36</mn><mtext>&nbsp;</mtext><msup><mtext>см</mtext><mn>2</mn></msup><mo>,</mo></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>M</mi><mo>=</mo><mn>15</mn><mtext>&nbsp;</mtext><mtext>см</mtext><mo>.</mo></math> Установіть відповідність між відрізком (1–3) та його довжиною ( – ).

/assets/tests/images/nmt-mathematics-2025/math-nmt-2024-demo-18.png

менша основа трапеції BMNC

На рисунку зображено фрагмент частини поперечного перерізу стосу дерев’яних колод. У нижньому ряду стосу <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>13</mn></math> колод, а у верхньому – одна. Визначте загальну кількість колод у цьому стосі.

/assets/tests/images/nmt-mathematics-2025/math-nmt-2024-demo-19.png

Редактор стрічки новин вирішує, у якій послідовності розмістити <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>6</mn></math> різних новин: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn></math> політичні, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>3</mn></math> суспільні та <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn></math> спортивну. Скільки всього є різних послідовностей розміщення цих <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>6</mn></math> новин у стрічці за умови, що політичні новини мають передувати іншим, а спортивна новина має бути останньою? Уважайте, що кожна з цих <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>6</mn></math> новин у стрічці не повторюватиметься.

У прямокутній системі координат у просторі задано вектор <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo stretchy="false">(</mo><mo>−</mo><mn>3</mn><mo>;</mo><mn>8</mn><mo>;</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo></math> і точку <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi><mo stretchy="false">(</mo><mn>7</mn><mo>;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>–</mo></mrow><mn>2</mn><mo>;</mo><mn>0</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>,</mo></math> точка <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>O</mi></math> – початок координат. Обчисліть скалярний добуток <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>O</mi><mi>A</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>⋅</mo><mover><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>.</mo></math>

Визначте найменше значення <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>,</mo></math> за якого має корені рівняння <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>sin</mi><mo data-mjx-texclass="NONE">⁡</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mi style="font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em">π</mi><mn>3</mn></mfrac><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mo>=</mo><mn>2</mn><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>5</mn><mi>a</mi><mo>−</mo><mn>6.</mn></math>

НМТ онлайн 2025 року з математики – демоваріант

Поради для успішного проходження